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第493章 40 艺术就是（第2页）

由上述两项定理，我们可得：0∈4、1∈4、2∈6、18∈99、……等等等等，因此，我们可以引入一个新的定义——

对于任意n，∈w，如果n＜，则n∈w。

这样，我们不仅仅把所有由自然数组成的集合进行了处理，而且也建立了它们的良序排列。

定理3对于任意n，∈w，下述三个式子恰有一个成立：

也就是——

n∈，n=，∈n。（1）

或

n＜，n=，＜n。（2）

在（1）和（2）之中必有一个成立，满足（1）的称之为∈三歧性。

由（1）我们可以断定w存在三歧性，由于w的传递性，所以我们可以断定每一个自然数都有w三歧性。

3公理集合论有关序数的定义。

（1）0是序数。

（2）若a是一序数，则a+是一序数。

（3）若s是序数的一集合（即s的元都是序数，则是一序数s。

（4）任一序数都是经（1）（2）（3）获得的。

每一自然数都是序数，并且w是一序数。

对于任意自然数n，w+n是一序数。

w+w=u{w+n|n∈w}。

w+w是一序数。

证明：

首先证明{w+n|n∈w}是一集合。令f={＜n，w+n，n∈w}。不难验证f是类函数，并且有

ran（f|w）={w+n|n∈w}。

由替换公理，{w+n|n∈w}是一集合，由于它所有元素都是序数，所以由（3）可得w+w是一序数。

依照上述过程，我们可有序数w+w+1、w+w+w+2、……、w+w+w、……等等等等，并且令w+w=w·2，w+w+w=w·3，……，对于任意自然数n都存在w·n，并且令w·w={w·n|n∈w}。

仿照上述过程，可有证明w+w=w·2，这一过程可以一直进行下去，获得相当复杂的序数，例如w·3、w·4、……w·w、w·w·w、……等等等等，都是序数，还可以获得更复杂的序数（比如说e序数、ζ序数、……、不可递归序数、归第不可达序数、稳定序数、反射序数、……等等等等，无止境无休止。）。，